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有效數字及其運算
一有效數字及其有效數字的保留
1 有效數字的定義
有效數字指，保留末一位不準確數字，其余數字均為準確數字。有效數字的最后一位數值是可疑值。
如：0.2014為四位有效數字，最末一位數值4是可疑值，而不是有效數值。
再如：1g、1.000g其所表明的量值雖然都是1，但其準確度是不同的，其分別表示為準確到整數位、準確到小數點后第三位數值。因此有效數值不但表明了數值的大小，同時反映了測量結果的準確度。
2 有效數字的保留
由于有效數字最末一位是可疑值，而不是準確值。因此，計算過程中，計算的結果應比標準極限或技術指標規定的位數要求多保留一位，最后的報出值應與標準對定的位數相一致。
如：在標準的極限數值(或技術指標)的表示中，××≧95 表明結果要求保留到整數位。因此，計算結果一定要保留到小數點后一位，最后再修約到整數位，如計算結果為94.6報出結果為95(-);因為94.6結果的0.6為可疑值，要想保留到整數位結果為準確值，計算結果必須要多保留一位。
如，分析天平的分辨率為0.1mg(即我們常說的萬分之一天平)，如果我們稱取的量是10.4320g.，則實際的稱取結果結果為10.4320±0.0002g(萬分之一的天平誤差)。因為再精確的儀器設備都有誤差，因此，在重量法中，如果檢驗方法中要求：直至恒重，即前后兩次差不大于0.0002g即為恒重了。(講電子天平的準確度)
如GB/T 601《化學試劑標準滴定溶液的制備》，要求保留4為有效數字，因此在標定計算結果中，應保留5位有效數字，最后再修約到4為有效數字(如果直接保留到4為有效數字，實際上是保留了三位有效數字，因最后一位是可疑值，則由標準溶液的濃度的不準確，會引進系統誤差。
二“0” 在數字中的作用
“0”作為一個特殊的數字，在數值的不同的位置，有著不同的作用，只有明確了“0”在數字中的作用，才能更好的掌握有效數字及其加減乘除的運算規則。“0”在數字中不同的位置，有不用的作用，根據“0”在數字的位置，起三種作用。即定位(無效)、定值(有效)及不確定作用。
2.1 定位(無效)
當“0”在小數點后，又在數字之前(前提：小數點前為“0”)時，為定位。如：0.0001(數字前4個零)0.02040(數字前2個零)均為定位作用;
2.2 定值(有效)
當“0”在小數點后的數值中間或數尾(前提：小數點前必為“0”)時。如：0.002040.300020
當“0”在小數點后，而小數點前為非“0”時。如1.000 1.0204
均為有效作用
2.3 不確定作用：當“0”在整數后
如：4500有效數值是幾位?回答是：不確定
將4500用三為有效數字表示：0.450×104 4.50×103
將4500用四為有效數字表示：0.4500×104 45.00×102
三數字修約規則(GB8170)
3.1 數字修約規則 例題：將下列各數修約到小數點后一位數。
修約前 修約后
四舍六入五考慮， 12.44 12.4
12.46 12.5
五的情況有三種：12.35 12.4
五后為零看前位，12.45 12.4
五前為奇要進一 12.451 12.5
五前為偶要舍去，
五后非零則進一。
3.2 檢驗結果的修約
根據技術標準的指標要求，在原始記錄中，通常檢驗計算的結果應比標準規定的位數要多保留一位，但被多保留的一位數值，應該體現出修約的情況，或一步修約到位，但不能存在連續修約的現象
a)檢驗結果修約后，應體現出修約的情況
如 標準值 ××<0.5
檢測結果為：0.456 第1步修約：0.46(-)(四舍六入)
報出值：0.5(-) 判定：合格
如：標準值 ×× ≥15
檢測結果為：14.55 第1步修約：14.6(-) 報出值：15(-)
按全數值比較法(15(-))判定不合格、按修約值比較法(15)判定合格
14.55(5后非零要進一。講評：在擬舍棄的數字中即14.55的第一個“5”，雖然“5”前為偶數，但“5”后非“0”，所以要進一。)
如，若檢驗結果為：14.35
第1步修約：14.4(+) (修約原則，四舍六入) 報出結果：14
最終的報出結果只有修約到標準值上時，才用+、-表示。
例題：將檢驗結果保留到整數位
檢測值 修約值 報出值
15.4546 15.5(-) 15
16.5203 16.5(+) 17
17.5000 17.5 18
10.5020 10.5(+) 11
由以上例題可見，被多保留的數字 的修約原則仍是是四舍六五單雙
b)一步修約到位 (這種修約更直接和更直觀)
例題：將下列結果修約到整數位
檢測結果 報出值
15.4546 15
16.5203 17
17.5000 18
14.5500 15
10.5020 11
c)不準連續修約
擬修約數字應在確定修約位數后，應一次修約獲得結果，而不準多次修約即連續修約。
如15.4546一次修約結果為：15
※ 連續修約：15.455 — 15.46-15.5-16
※ 按多保留一位的修約法：15.5(-)
因為.5(-)
即修約后到5(-) ，但不足5(<5)，所以不進，最終結果為15。
四數值的修約方法
4.1 數值的修約方法有兩種，即修約值比較法和全數值比較法
a)修約值比較法：數值修約后，體現不出數值的修約情況;
b)全數值比較法：數值修約后，能夠體現出數值的修約情況。
4.2 如何選擇修約值的方法
a)當檢測項目牽涉到衛生指標、安全指標等，應首選用全數值比較法;
b)只有當檢測結果修約到標準值上時，方采用全數值比較法。
五加減乘除運算規則
5.1加減法運算規則
在參與運算的各數中，以小數點后位數最少的的為準，其余各數均修約成比位數最少的要多一位，最終結果與位數最少的相一致。(與小數點位數有關)
例題1：
12.455 + 23.1 +14.345
= 12.46 + 23.1 +14.34
= 49.90
≈49.9
例題2：
2.155 + 0.0012 +10.445 + 25.1
= 2.16 + 0.00 +10.44 + 25.1
= 37.70
≈37.7
例題3：
1.000 + 0.125 +9.555 + 0.1
= 1.00 + 0.12 +9.56 + 0.1
= 10.78
≈10.8
例題4：
0.999 + 1.0 +14.999 + 24.450
= 1.00+ 1.0 + 15.00+ 24.45
= 41.45
≈41.4
例題5：
0.1 + 10.515 +0.001 + 10.000
= 0.1 + 10.52 +0.00 + 10.00
= 26.62
≈26.6
5.2 乘除(乘方、開方)法
在參與運算的各數中，以有效位數最少的為準，其余各數均修約成比有效位數最少的要多一位，最終結果與有效位數最少的相一致。(與有效位數有關)
例題1：
10.54 × 1.001 ×0.10
= 10.5 × 1.00 ×0.10
= 1.05
≈1.0
例題2：
0.1 × 1.00 × 0.101× 10.145
= 0.1 × 1.0 × 0.10× 10
= 0.10
≈0.1
例題3：
0.999 × 1.00 ×10.04 × 0.0010
= 1.00 ×1.00 × 10.0× 0.0010
= 0.0100
= 0.010
例題4：
2.24 × 0.5 × 0.554× 0.5451
= 2.2 × 0.5 × 0.55×0.55
= 0.33
≈0.3
例題5：
2.5 × 2.451 × 2.255
= 2.5 × 2.45 × 2.26
= 13.8
≈14
文章來源：網絡
一有效數字及其有效數字的保留
1 有效數字的定義
有效數字指，保留末一位不準確數字，其余數字均為準確數字。有效數字的最后一位數值是可疑值。
如：0.2014為四位有效數字，最末一位數值4是可疑值，而不是有效數值。
再如：1g、1.000g其所表明的量值雖然都是1，但其準確度是不同的，其分別表示為準確到整數位、準確到小數點后第三位數值。因此有效數值不但表明了數值的大小，同時反映了測量結果的準確度。
2 有效數字的保留
由于有效數字最末一位是可疑值，而不是準確值。因此，計算過程中，計算的結果應比標準極限或技術指標規定的位數要求多保留一位，最后的報出值應與標準對定的位數相一致。
如：在標準的極限數值(或技術指標)的表示中，××≧95 表明結果要求保留到整數位。因此，計算結果一定要保留到小數點后一位，最后再修約到整數位，如計算結果為94.6報出結果為95(-);因為94.6結果的0.6為可疑值，要想保留到整數位結果為準確值，計算結果必須要多保留一位。
如，分析天平的分辨率為0.1mg(即我們常說的萬分之一天平)，如果我們稱取的量是10.4320g.，則實際的稱取結果結果為10.4320±0.0002g(萬分之一的天平誤差)。因為再精確的儀器設備都有誤差，因此，在重量法中，如果檢驗方法中要求：直至恒重，即前后兩次差不大于0.0002g即為恒重了。(講電子天平的準確度)
如GB/T 601《化學試劑標準滴定溶液的制備》，要求保留4為有效數字，因此在標定計算結果中，應保留5位有效數字，最后再修約到4為有效數字(如果直接保留到4為有效數字，實際上是保留了三位有效數字，因最后一位是可疑值，則由標準溶液的濃度的不準確，會引進系統誤差。
二“0” 在數字中的作用
“0”作為一個特殊的數字，在數值的不同的位置，有著不同的作用，只有明確了“0”在數字中的作用，才能更好的掌握有效數字及其加減乘除的運算規則。“0”在數字中不同的位置，有不用的作用，根據“0”在數字的位置，起三種作用。即定位(無效)、定值(有效)及不確定作用。
2.1 定位(無效)
當“0”在小數點后，又在數字之前(前提：小數點前為“0”)時，為定位。如：0.0001(數字前4個零)0.02040(數字前2個零)均為定位作用;
2.2 定值(有效)
當“0”在小數點后的數值中間或數尾(前提：小數點前必為“0”)時。如：0.002040.300020
當“0”在小數點后，而小數點前為非“0”時。如1.000 1.0204
均為有效作用
2.3 不確定作用：當“0”在整數后
如：4500有效數值是幾位?回答是：不確定
將4500用三為有效數字表示：0.450×104 4.50×103
將4500用四為有效數字表示：0.4500×104 45.00×102
三數字修約規則(GB8170)
3.1 數字修約規則 例題：將下列各數修約到小數點后一位數。
修約前 修約后
四舍六入五考慮， 12.44 12.4
12.46 12.5
五的情況有三種：12.35 12.4
五后為零看前位，12.45 12.4
五前為奇要進一 12.451 12.5
五前為偶要舍去，
五后非零則進一。
3.2 檢驗結果的修約
根據技術標準的指標要求，在原始記錄中，通常檢驗計算的結果應比標準規定的位數要多保留一位，但被多保留的一位數值，應該體現出修約的情況，或一步修約到位，但不能存在連續修約的現象
a)檢驗結果修約后，應體現出修約的情況
如 標準值 ××<0.5
檢測結果為：0.456 第1步修約：0.46(-)(四舍六入)
報出值：0.5(-) 判定：合格
如：標準值 ×× ≥15
檢測結果為：14.55 第1步修約：14.6(-) 報出值：15(-)
按全數值比較法(15(-))判定不合格、按修約值比較法(15)判定合格
14.55(5后非零要進一。講評：在擬舍棄的數字中即14.55的第一個“5”，雖然“5”前為偶數，但“5”后非“0”，所以要進一。)
如，若檢驗結果為：14.35
第1步修約：14.4(+) (修約原則，四舍六入) 報出結果：14
最終的報出結果只有修約到標準值上時，才用+、-表示。
例題：將檢驗結果保留到整數位
檢測值 修約值 報出值
15.4546 15.5(-) 15
16.5203 16.5(+) 17
17.5000 17.5 18
10.5020 10.5(+) 11
由以上例題可見，被多保留的數字 的修約原則仍是是四舍六五單雙
b)一步修約到位 (這種修約更直接和更直觀)
例題：將下列結果修約到整數位
檢測結果 報出值
15.4546 15
16.5203 17
17.5000 18
14.5500 15
10.5020 11
c)不準連續修約
擬修約數字應在確定修約位數后，應一次修約獲得結果，而不準多次修約即連續修約。
如15.4546一次修約結果為：15
※ 連續修約：15.455 — 15.46-15.5-16
※ 按多保留一位的修約法：15.5(-)
因為.5(-)
即修約后到5(-) ，但不足5(<5)，所以不進，最終結果為15。
四數值的修約方法
4.1 數值的修約方法有兩種，即修約值比較法和全數值比較法
a)修約值比較法：數值修約后，體現不出數值的修約情況;
b)全數值比較法：數值修約后，能夠體現出數值的修約情況。
4.2 如何選擇修約值的方法
a)當檢測項目牽涉到衛生指標、安全指標等，應首選用全數值比較法;
b)只有當檢測結果修約到標準值上時，方采用全數值比較法。
五加減乘除運算規則
5.1加減法運算規則
在參與運算的各數中，以小數點后位數最少的的為準，其余各數均修約成比位數最少的要多一位，最終結果與位數最少的相一致。(與小數點位數有關)
例題1：
12.455 + 23.1 +14.345
= 12.46 + 23.1 +14.34
= 49.90
≈49.9
例題2：
2.155 + 0.0012 +10.445 + 25.1
= 2.16 + 0.00 +10.44 + 25.1
= 37.70
≈37.7
例題3：
1.000 + 0.125 +9.555 + 0.1
= 1.00 + 0.12 +9.56 + 0.1
= 10.78
≈10.8
例題4：
0.999 + 1.0 +14.999 + 24.450
= 1.00+ 1.0 + 15.00+ 24.45
= 41.45
≈41.4
例題5：
0.1 + 10.515 +0.001 + 10.000
= 0.1 + 10.52 +0.00 + 10.00
= 26.62
≈26.6
5.2 乘除(乘方、開方)法
在參與運算的各數中，以有效位數最少的為準，其余各數均修約成比有效位數最少的要多一位，最終結果與有效位數最少的相一致。(與有效位數有關)
例題1：
10.54 × 1.001 ×0.10
= 10.5 × 1.00 ×0.10
= 1.05
≈1.0
例題2：
0.1 × 1.00 × 0.101× 10.145
= 0.1 × 1.0 × 0.10× 10
= 0.10
≈0.1
例題3：
0.999 × 1.00 ×10.04 × 0.0010
= 1.00 ×1.00 × 10.0× 0.0010
= 0.0100
= 0.010
例題4：
2.24 × 0.5 × 0.554× 0.5451
= 2.2 × 0.5 × 0.55×0.55
= 0.33
≈0.3
例題5：
2.5 × 2.451 × 2.255
= 2.5 × 2.45 × 2.26
= 13.8
≈14
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